Question

設圓滿足:(1)y軸截圓所得弦長為2,(2)被x軸分成兩段弧，其弧長之比為3∶1，在滿足(1)、(2)的所有圓中，求圓心到直線l:x－2y=0的距離最小的圓的方程.

Answer 1

解:設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則P到x軸，y軸的距離分別為|b|、|a|，由題設

知圓P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，故圓P截x軸所得弦長為r=2b.

∴r²=2b².                                                                                   ①

又由y軸截圓得弦長為2，

∴r²=a²＋1.                                                                                ②

由①、②知2b²－a²＝1.又圓心到l:x－2y=0的距離d=，

∴5d²=(a－2b)²=a²＋4b²－4ab≥a²＋4b²－2(a²＋b²)=2b²－a²=1.當且僅當a=b時“=”號  成立.

∴當a=b時，d最小為.由得或

由①得r=.

∴(x－1)²＋(y－1)²=2或(x＋1)²＋(y＋1)²=2為所求.