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設圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,在滿足條件①、②的所有圓中,求圓心到直線ι:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

解法一:設圓的圓心為,半徑為,則點到軸,軸的距離分別為,.

由題設知圓截軸所得劣弧對的圓心角為，知圓截軸所得的弦長為

故

又圓截軸所得的弦長為2,所以有.從而得.

又點到直線的距離為,

所以,

當且僅當時上式等號成立,此時,從而取得最小值.

由此有

解此方程組得或

由于知于是,所求圓的方程是

,或.

解法二:同解法一得

∴

得 ①

將代入①式,整理得

②

把它看作的二次方程,由于方程有實根,故判別式非負,即，得

所以有最小值1，從而有最小值

將其代入②式得.解得.

將代入,得.由得.

綜上,,.由知，同號.于是,所求圓的方程是

,或.

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