Question

已知f(x)＝e^x－ax－1.
(1)求f(x)的單調增區間；
(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當a≤0時，f(x)的單調增區間為(－∞，＋∞)；當a>0時，f(x)的單調增區間為(ln a，＋∞)．（2）(－∞，0]．

(1)∵f(x)＝e^x－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝e^x－a.令f′(x)≥0，得e^x≥a.當a≤0時，f′(x)>0在R上恒成立；當a>0時，有x≥ln a．綜上，當a≤0時，f(x)的單調增區間為(－∞，＋∞)；當a>0時，f(x)的單調增區間為(ln a，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝e^x－a.∵f(x)在R上單調遞增，
∴f′(x)＝e^x－a≥0恒成立，即a≤e^x在R上恒成立．
∵x∈R時，e^x>0，∴a≤0，
即a的取值范圍是(－∞，0]．