Question

（2009•虹口區二模）a≠b且a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0，則連接（a，a²）、（b，b²）兩點的直線與圓x²+y²=1的位置關系為（　　）

A．相交

B．相離

C．相切

D．以上均有可能

Answer 1

分析：法一：利用已知等式求出sinθ，cosθ；利用三角函數的平方關系得到a，b滿足的等式；利用兩點式求出直線的方程，利用點與直線的距離公式及直線與圓相切時滿足的條件求出圓的方程．
法二：利用同一性直接得到過兩點的直線的方程為xcosθ+ysinθ-2=0，再研究直線與圓的位置關系即可得到答案

解答：解法一：∵a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0，∴

cosθ= 2(a+b) ab sinθ= -2 ab

∵sin²θ+cos²θ=1，∴

ab

1+(a+b)2

=2
經過兩點（a，a²），（b，b²）的直線方程為（b+a）x-y-ab=0
而

ab

1+(a+b)2

=2表示（0，0）與（b+a）x-y-ab=0的距離為2
故直線與圓x²+y²=1相離
故選B
解法二：∵兩點A（a，a²），B（b，b²）在直線上且a²sinθ+acosθ-2=0，b²sinθ+bcosθ-2=0，
∴直線AB方程為xcosθ+ysinθ-2=0，
∵圓x²+y²=1的圓心為（0，0），半徑r=1
∴直線AB到圓心的距離為d=

| 0×cosθ+0×sinθ-2 |

cos2θ+sin2θ

=2＞r=1
因此直線AB與圓x2+y2=1是相離的位置關系
故選B

點評：本題得考點是直線與圓的位置關系，主要考查三角函數的平方關系、兩點式求直線方程、點與直線的距離公式、直線與圓相切的條件．