Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m.

(1)當直線和橢圓有公共點時,求實數m的取值范圍;

(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.

Answer 1

解：(1)由得5x²+2mx+m²-1=0.

因為直線與橢圓有公共點,

所以Δ=4m²-20(m²-1)≥0.

解得

(2)設直線與橢圓交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由(1),知5x²+2mx+m²-1=0,

由根與系數的關系得x₁+x₂=,x₁x₂=(m²-1).設弦長為d,

所以

所以當m=0時，d最大,此時直線方程為y=x.

綠色通道：

判斷直線與橢圓的交點情況就是要聯立方程組,消去x(或y)轉化為關于y(或x)的一元二次方程,利用判別式求解.在第(1)問中Δ≥0,即可求出m的取值范圍.第(2)問求弦長最大時的直線方程,根據根與系數的關系和弦長公式,將弦長表示成關于m的函數,求出當弦長最長時的m值,從而確定直線方程.