Question

已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m．
（1）當直線與橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍．
（2）求被橢圓截得的最長弦所在直線方程．

Answer 1

分析：（1）當直線與橢圓有公共點時，直線方程與橢圓方程構成的方程組有解，等價于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）設所截弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）及韋達定理可把弦長|AB|表示為關于m的函數，根據函數表達式易求弦長最大時m的值；

解答：解：（1）由

4x2+y2=1 y=x+m

得5x²+2mx+m²-1=0，
當直線與橢圓有公共點時，△=4m²-4×5（m²-1）≥0，即-4m²+5≥0，
解得-

5

2

≤m≤

5

2

，
所以實數m的取值范圍是-

5

2

≤m≤

5

2

；
（2）設所截弦的兩端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=-

2m

5

，x1x2=

m2-1

5

，
所以弦長|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 2m 5 )2- 4(m2-1) 5

=

2 2 • 5-4m2

5

，
當m=0時|AB|最大，此時所求直線方程為y=x．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查函數與方程思想，弦長公式、韋達定理是解決該類題目的基礎知識，應熟練掌握．