【題目】如圖，在棱長均為
的三棱柱
中，平面
平面
，
，
為
與
的交點．
（1）求證：
；
（2）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）證明線垂直面，即
平面
，從而證明線線垂直；
（2）以
為坐標原點，以
，
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
，求出平面
與平面
的法向量，再求出法向量夾角的余弦值，進而得到二面角的余弦值.
（1）因為四邊形
為菱形，所以
，
又平面
平面，平面
平面
，
所以平面，
因為
平面，
所以
.
（2）因為
，所以菱形為正方形，
在
中，
，
在
中，
，
，
，
所以，
，又
，
，
所以，
平面；
以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
平面的一個法向量為
，則
令
，得
，
令
，得
，
設平面與平面所成銳二面角為
，
則
，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某飛機失聯，經衛星偵查，其最后出現在小島
附近，現派出四艘搜救船
，為方便聯絡，船
始終在以小島為圓心，100海里為半徑的圓上，船構成正方形編隊展開搜索，小島在正方形編隊外（如圖）.設小島到
的距離為
，
，
船到小島的距離為
.
（1）請分別求關于
的函數關系式
，并分別寫出定義域；
（2）當兩艘船之間的距離是多少時搜救范圍最大（即最大）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
，（θ為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點，求△ABM面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的方程為
，
的方程為
，
是一條經過原點且斜率大于
的直線．
（1）以直角坐標系原點
為極點，
軸正方向為極軸建立極坐標系，求與的極坐標方程；
（2）若與的一個公共點
（異于點），與的一個公共點為
，當
時，求的直角坐標方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某汽車公司最近研發了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程的測試。現對測試數據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）.
（2）根據大量的汽車測試數據，可以認為這款汽車的單次最大續航里程
近似地服從正態分布
，經計算第（1）問中樣本標準差
的近似值為50。用樣本平均數
作為
的近似值，用樣本標準差作為
的估計值，現任取一輛汽車，求它的單次最大續航里程恰在250千米到400千米之間的概率.
參考數據：若隨機變量服從正態分布
，則
，
，
.
（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優惠券3萬元。已知硬幣出現正、反面的概率都是0.5方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次。若擲出正面，遙控車向前移動一格（從
到
）若擲出反面遙控車向前移動兩格（從到
），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第
格的概率為P試證明
是等比數列，并求參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）當函數
在點
處的切線方程為
，求函數的解析式；
（2）在（1）的條件下，若
是函數的零點，且
，求
的值；
（3）當
時，函數有兩個零點
，且
，求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日
點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
.
設
，由于
的值很小，因此在近似計算中
，則r的近似值為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），
為上的動點，
點滿足
，點的軌跡為曲線
．
（1）求曲線的直角坐標方程；
（2）在以為
極點，
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線
與的異于極點的交點為
，與的異于極點的交點為
，求
.
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