Question

已知函數滿足,對于任意R都有,且 ,令.

（Ⅰ）求函數的表達式；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）研究函數在區間上的零點個數.

 

Answer 1

【答案】

∵，∴.                 …… 1分        

∵對于任意R都有,

∴函數的對稱軸為，即，得.   …… 2分

又，即對于任意R都成立，

∴,且．

　∵，      ∴．

　∴．                …… 4分

(2) 解：       …… 5分

① 當時，函數的對稱軸為，

若，即，函數在上單調遞增；  …… 6分

若，即，函數在上單調遞增，在上單調遞減．  …… 7分

② 當時，函數的對稱軸為，

則函數在上單調遞增，在上單調遞減．   …… 8分

綜上所述，當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為；                     …… 9分

當時，函數單調遞增區間為和，單調遞減區間為

和．                                         …… 10分

 (3)解：① 當時，由(2)知函數在區間上單調遞增，

又，

故函數在區間上只有一個零點．       …… 11分

② 當時，則，而，

，

（ⅰ）若，由于，

且，

此時，函數在區間上只有一個零點；                    …… 12分

（ⅱ）若，由于且，此時，函數在區間上有兩個不同的零點．                 …… 13分

綜上所述，當時，函數在區間上只有一個零點；

當時，函數在區間上有兩個不同的零點．

【解析】略