Question

觀察下列各不等式：

…

（1）由上述不等式，歸納出一個與正整數有關的一般性結論；

（2）用數學歸納法證明你得到的結論．

 

Answer 1

（1）且；（2）以下用數學歸納法證明這個不等式．

①當n=2時，由題設可知，不等式顯然成立.

②假設當n=k時，不等式成立，即

那么，當n=k+1時，有

.

所以當n=k+1時，不等式也成立.

根據①和②，可知不等式對任何且都成立.

【解析】

試題分析：（1）由上述不等式，歸納出表達式的左側的關系與右側分子與分母的特征寫出一個正整數，有關的一般性結論；（2）利用數學歸納法證明步驟，直接證明即可.

試題解析：（1）觀察上述各不等式，得到與正整數n有關的一般不等式為

且.

（2）以下用數學歸納法證明這個不等式．

①當n=2時，由題設可知，不等式顯然成立.

②假設當n=k時，不等式成立，即

那么，當n=k+1時，有

.

所以當n=k+1時，不等式也成立.

根據①和②，可知不等式對任何且都成立.

考點：歸納推理；數學歸納法.