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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

設單調遞增函數的定義域為，且對任意的正實數x,y有：且．

⑴、一個各項均為正數的數列滿足:其中為數列的前n項和,求數列的通項公式；

⑵、在⑴的條件下，是否存在正數M使下列不等式：

對一切成立？若存在，求出M的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（本小題主要考查數列、不等式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創新意識）

解：⑴、對任意的正數均有且．………2分

又

，　　…………………………4分

又是定義在上的單增函數，．

當時，，．，．

當時，，

．，為等差數列，，． …………………6分

⑵、假設存在滿足條件，

即

對一切恒成立．　……………８分

令，

，　……………10分

故，………………12分

，單調遞增，，．

．　　……………………………14分

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M，都有f（x）≥M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的下界．已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定義域為[-2，t]（t＞-2），設f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調遞增函數；
（2）試判斷m，n的大小，并說明理由；并判斷函數f（x）在定義域上是否為有界函數，請說明理由；
（3）求證：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t）滿足

f′(x0)

ex0

（t-1）²，并確定這樣的x₀的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x），對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＞0時，恒有f（x）＞1，若f（1）=2．
（1）求f（0）；
（2）求證：x∈R時f（x）為單調遞增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=

x，x∈P

-x，x∈M

其中集合P，M是非空數集．設．f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}
（I）若 P=[l，3]，M=（-∞，-2]，求f（P）∪f（M）；
（II）若P∩M=φ，a函數f（x）是定義在R上的單調遞增函數，求集合P，M
（III）判斷命題“若P∪M≠R，則．f（P）∪f（M）≠R”的真假，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x），g（x）分別是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f（x）•g（x）為單調遞增函數，且g（-3）=0，則不等式f（x）•g（x）＜0的解集為（　�。�

A．（-∞，-3）∪（3，+∞）

B．（-3，0）∪（0，3）

C．（-∞，-3）∪（0，3）

D．（-3，0）∪（3，+∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f₁（x）=3^|x-1|，f₂（x）=a•3^|x-2|，（x∈R，a＞0）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，f(x)=

f1(x) f1(x)≤f2(x)

f2(x) f1(x)＞f2(x)

（1）若f（x）=f₁（x）對所有實數x都成立，求a的取值范圍；
（2）設t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．設函數f（x）在區間[0，t]上的單調遞增區間的長度之和為d（閉區間[m，n]的長度定義為n-m），求

；
（3）設g（x）=x²-2bx+3．當a=2時，若對任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求實數b的取值范圍．

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