Question

（2006•朝陽區一模）設函數f（x）在定義域D上滿足f（

1

2

）=-1，f（x）≠0，且當x，y∈D時，f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），若數列{x_n}中，x₁=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

（x_n∈D，n∈N^*），則數列{f（x_n）}的通項公式為（　　）

A．f（x_n）=-2ⁿ+1

B．f（x_n）=-2^n-1

C．f（x_n）=-3^n-1

D．f（x_n）=3ⁿ⁺¹

Answer 1

分析：由所給的函數關系式知f(xn)+f(xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)，而數列之間又具備一個遞推式，把遞推式代入函數式得2f（x_n）=f（x_n+1），所以數列{f（x_n）}是一個首項為-1，公比是2的等比數列，得到結果．

解答：解：∵f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f(xn)+f(xn)=f(

2xn

1+ x 2 n

)
∵xn+1=

2xn

1+ x 2 n

∴2f（x_n）=f（x_n+1），
∴數列{f（x_n）}是首項為-1，公比是2的等比數列，
∴f（x_n）=-2^n-1，
故選B

點評：這種題目可以提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．