Question

過橢圓內的點P（1，2）作兩條互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點分別為M，N，則直線MN恒過定點，定點的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線AB的方程為y-2=k（x-1），將其與橢圓消去y化簡得（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0，運用根與系數的關系算出M（，），同樣理得出N（，），從而得到直線MN關于k為參數的兩點式方程．分別取k=1和k=-1，得到動直線MN的兩個位置，記為l₁、l₂，因為直線MN恒過定點，所以l₁與l₂的交點即為MN恒過的定點，由此聯解直線l₁與l₂的方程組即可得到經過的定點坐標．
解答：解：設直線AB的方程為y-2=k（x-1），與橢圓消去y得
（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x_M，y_M）
∴x₁+x₂=，可得x_M=（x₁+x₂）=
代入直線AB方程，得y_M=
∴AB中點為M（，）
∵直線AB、CD互相垂直，∴用-代替k，得CD中點為N（，）
因此，直線MN方程為
取k=1，得直線方程，記為l₁； 再k=-1，得直線方程，記為l₂．
∵隨著直線AB、CD運動，直線MN恒過定點
∴直線l₁與l₂的交點即為MN恒過的定點，聯解，得
因此，直線MN恒過定點（ ）
故答案為：（ ）
點評：本題給出橢圓經過定點（1，2）的兩條垂直的弦AB、CD，求由AB、CD中點確定的直線MN經過的定點坐標．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．