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已知二次函數f（x）=x²+mx+1（m∈Z），且關于x的方程f（x）=2在

上有兩個不相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若x∈[2，t]總有f（x-5）≤2x成立，求t的最大值．

【答案】分析：（1）問題轉化為f（x）-2=x²+mx-1=0在

上有兩個不相等的實數根，由此建立不等式，即可確定f（x）的解析式；
（2）先求f（x-5）≤2x成立時，x的范圍，即可求t的最大值．
解答：解：（1）由f（x）=2在

上有兩個不相等的實數根，即g（x）=f（x）-2=x²+mx-1=0在

上有兩個不相等的實數根，
∴

，
∴

，∴m=2
從而f（x）=x²+2x+1…（7分）
（2）由 f（x-5）≤2x，得x²-10x+16≤0，
∴2≤x≤8
而當x∈[2，t]總有f（x-5）≤2x成立，t_max=8…（14分）
點評：本題考查函數解析式的確定，考查恒成立問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²+2（m-2）x+m-m²．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數在區間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x²+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=

f(x)

x-1

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

同步練習冊答案

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