Question

（本小題14分）

某化工廠生產某種產品，每件產品的生產成本是3元，根據市場調查，預計每件產品的出廠價為x元(7≤x≤10)時，一年的產量為(11－x)²萬件；若該企業所生產的產品全部銷售，則稱該企業正常生產；但為了保護環境，用于污染治理的費用與產量成正比，比例系數為常數k (1≤k≤3)。

（1）求該企業正常生產一年的利潤F(x)與出廠價x的函數關系式；

（2）當每件產品的出廠價定為多少元時，企業一年的利潤最大，并求最大利潤.

Answer 1

（14分）

（1）依題意，F(x)＝(x－3)(11－x)²－k(11－x)²＝(x－3－k)(11－x)²，x∈[7,10].(4分)

（2）因為F′(x)＝(11－x)²－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2k)

＝(x－11)[3x－(17＋2k)].

由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分)

因為1≤k≤3，所以≤≤.

①當≤≤7，即1≤k≤2時，F′(x)在[7,10]上恒為負，則F(x)在[7,10]上為減函數，所以[F(x)]_max＝F(7)＝16(4－k).(9分)

②當7<≤，即2<k≤3時，[F(x)]_max＝F()＝(8－k)³.(12分)

即當1≤k≤2時，則每件產品出廠價為7元時，年利潤最大，為16(4－k)萬元.當2<k≤3時，則每件產品出廠價為元時，年利潤最大，為(8－k)³萬元.(14分)