Question

矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，將△DEF沿FD翻折，翻折后的點E恰與BC上的點P重合．設AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，則當x=

 

時，y有最小值．

Answer 1

分析：由已知中矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，將△DEF沿FD翻折，翻折后的點E恰與BC上的點P重合．設AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，我們利用勾股定理分別求出BP，PC，根據BC=BP+PC，可以得到 x，y的關系式，利用換元法結合二次函數的性質，可得答案．

解答：解：∵形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，
AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=

x2-1

在Rt△FAP中，AP=

y2-x2

在Rt△ABP中，BP=

y2-x2-1

∵BC=BP+PC=

y2-x2-1

+

x2-1

=y
整理得y²=

x4

x2-1

=

1

1 X2 - 1 x4

，令t=

1

x2

則y²=

1

-t2+t

，
則當t=

1

2

，即x=

2

時，y取最小值．
故答案為：

2

點評：本題考查的知識點是空間兩點之間的距離計算，由于本題是幾何與代數知識的綜合應用，運算量比較大，而且得到的x，y的關系比較復雜，因此要用換元法，簡單表達式．