Question

如圖，橢圓C：，a，b為常數），動圓，b＜t₁＜a．點A₁，A₂分別為C的左，右頂點，C₁與C相交于A，B，C，D四點．
（Ⅰ）求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設動圓與C相交A′，B′，C′，D′四點，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出線A₁A的方程、直線A₂B的方程，求得交點滿足的方程，利用A在橢圓C上，化簡即可得到M軛軌跡方程；
（II）根據矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，可得A，A′坐標之間的關系，利用A，A′均在橢圓上，即可證得 =a²+b²為定值．
解答：（I）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₂=x₁，y₂=-y₁，
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），則直線A₁A的方程為y=（x+a）①
直線A₂B的方程為y=（x-a）②
由①×②可得：y²=（x²-a²）③
∵A（x₁，y₁）在橢圓C上，
∴
∴y₁²=b²（1-）
代入③可得：y²=（x²-a²）
∴（x＜-a，y＜0）；
（II）證明：設A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴x₁²y₁²=x₃²y₃²
∵A，A′均在橢圓上，
∴b²x₁²（1-）=b²x₃²（1-）
∴x₁²-=x₃²-
∴a²（x₁²-x₃²）=x₁⁴-x₃⁴
∵t₁≠t₂，∴x₁≠x₃．
∴x₁²+x₃²=a²
∵y₁²=b²（1-），y₃²=b²（1-）
∴y₁²+y₃²=b²
∴=a²+b²為定值．
點評：本題考查軌跡方程，考查定值問題的證明，解題的關鍵是設出直線方程，求出交點的坐標，屬于中檔題．