Question

試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形,并指出該變換是什么變換.

（1）曲線方程為：x²+y²=4;

（2）方程為：y＝-2x+6.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：

要看結(jié)果變成什么圖形,可以先把變化后的方程寫(xiě)出來(lái),根據(jù)方程判斷圖形的形狀及變換的名稱(chēng).

解：(1)所給方程表示的是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓.設(shè)A（x,y）為曲線上的任意一點(diǎn),經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)為A₁（x₁,y₁）,則2  0

=,∴2x=x₁, y=y₁.

將之代入到x²+y²=4可得到方程,此方程表示橢圓.所給方程表示的是圓,該變換是伸壓變換.

(2)所給方程表示的是一條直線.設(shè)A（x,y）為直線上的任意一點(diǎn),經(jīng)過(guò)變換后的點(diǎn)為A₁（x₁,y₁）.

∵=,

∴x₁=0,y₁=2x+y.

又由y＝-2x+6得2x+y＝6.

所以A₁（0，6）恒為定點(diǎn).該變換是投影變換,通過(guò)變換將一條直線變?yōu)橐稽c(diǎn).

［一通百通］圖形變換是矩陣的一種重要應(yīng)用,變換的方法通常是設(shè)原曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo),再把這一點(diǎn)的坐標(biāo)與變換矩陣相乘,得到變換后的坐標(biāo),代入原方程即可得到變換后的方程,再進(jìn)一步判斷變換后圖形的形狀及性質(zhì).