Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，E是棱BB₁的中點．
（1）求證：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（2）若我們把平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成的銳二面角為60°時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C與AC₁交于點F，連接EF，欲證平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C，根據面面垂直的判定定理可知在平面A₁EC內一直線與平面AA₁C₁C垂直，而根據線面垂直的判定定理可得EF⊥面AA₁C₁C，滿足定理條件；
（2）延長CE交C₁B₁的延長線于點H，根據二面角平面角的定義可知∠CA₁C₁為平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角，利用反證法可證得三棱柱不能成為“黃金棱柱”．

解答：（1）證明：連接A₁C與AC₁交于點F，連接EF，
則由條件可得EC=EA₁，則EF⊥A₁C．同理EC₁=EA，則EF⊥AC₁，∴EF⊥面AA₁C₁C．
而EF?面A₁EC，所以平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．
（2）解：延長CE交C₁B₁的延長線于點H，
則有C₁B₁=B₁H=A₁B₁，則∠HA₁C₁=90°，且∠CA₁H=90°，
所以∠CA₁C₁為平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角的平面角．
若此正三棱柱為“黃金棱柱”，則∠CA₁C₁=60°，應有CC₁=

3

A₁C₁，與條件AB=AA₁矛盾．
所以此三棱柱不能成為“黃金棱柱”．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角及其度量和反證法的運用等有關基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．