Question

已知半徑為5的圓的圓心在x的正半軸上，且被直線x-y+5=0截得的弦長為
（1）求圓的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得直線ax-y+5=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且過點(diǎn)P（-1，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)榘霃綖?的圓的圓心在x的正半軸上，且被直線x-y+5=0截得的弦長為
圓心坐標(biāo)為（a，0），所以，解得a=1，
所以所求圓的方程為：（x-1）²+y²=25
（2）因?yàn)橹本�和圓相交，故由d＜r，即，
解得：
若經(jīng)過P的直線l垂直平分弦AB，則直線也經(jīng)過圓心C（1，0），
∴AB⊥CP
∴k_AB•k_CP=-1，得，滿足（*），
故存在實(shí)數(shù)，使問題成立．
分析：（1）設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離、半徑、半弦長滿足勾股定理，求出圓心坐標(biāo)，然后求圓的方程；
（2）利用直線ax-y+5=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求出a的范圍，通過k_AB•k_CP=-1，求出實(shí)數(shù)a的值；即可得到過點(diǎn)P（-1，4）的直線l垂直平分弦AB存在．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．