Question

已知半徑為5的圓的圓心在x的正半軸上，且被直線x-y+5=0截得的弦長為2

7

（1）求圓的方程；
（2）是否存在實數a，使得直線ax-y+5=0與圓相交于A、B兩點，且過點P（-1，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出圓的圓心坐標，利用圓心到直線的距離、半徑、半弦長滿足勾股定理，求出圓心坐標，然后求圓的方程；
（2）利用直線ax-y+5=0與圓相交于A、B兩點，求出a的范圍，通過k_AB•k_CP=-1，求出實數a的值；即可得到過點P（-1，4）的直線l垂直平分弦AB存在．

解答：解：（1）因為半徑為5的圓的圓心在x的正半軸上，且被直線x-y+5=0截得的弦長為2

7

圓心坐標為（a，0），所以(

7

)2=52-(

|a+5|

2

)2，解得a=1，
所以所求圓的方程為：（x-1）²+y²=25
（2）因為直線和圓相交，故由d＜r，即

|a+5|

1+a2

＜5，
解得：a＜0或a＞

5

12

…(*)
若經過P的直線l垂直平分弦AB，則直線也經過圓心C（1，0），
∴AB⊥CP
∴k_AB•k_CP=-1，得a=

1

2

，滿足（*），
故存在實數a=

1

2

，使問題成立．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，圓的方程的求法，考查轉化思想計算能力．