Question

【題目】已知O是邊長為 的正方形ABCD的中心，點E、F分別是AD、BC的中點，沿對角線AC把正方形ABCD折成直二面角D﹣AC﹣B； （Ⅰ）求∠EOF的大小；
（Ⅱ）求二面角E﹣OF﹣A的余弦值；
（Ⅲ）求點D到面EOF的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以O點為原點，以 的方向

為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的坐標系，

則F（1，1，0），E（0，﹣1，1），

∴ ， ， ，

∴ ，∴ ，

（Ⅱ）設平面EOF的法向量為 ，則 ，

即 ，令x=1，則y=﹣1，z=﹣1，

得 ，

又平面FOA的法向量為 ，

，

二面角E﹣OF﹣A的余弦值為 ．

（Ⅲ）∵D（0，0，2），E（0，﹣1，1），∴

∴點D到平面EOF的距離為 ．

【解析】（Ⅰ）以O點為原點，以 的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的坐標系，求出相關點的坐標，求出 ， ，然后求解∠EOF的大小．（Ⅱ）求出平面EOF的法向量，平面FOA的法向量，利用空間向量的數量積求解二面角E﹣OF﹣A的余弦值．（Ⅲ）求出 ，利用空間向量距離公式求解即可．