Question

(20分) 已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是，一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．

Answer 1

（1）解析：設(shè)雙曲線的方程為（）．由題設(shè)得

，解得，所以雙曲線方程為．---------------------（5分）

（2）解：設(shè)直線的方程為（）．點，的坐標滿足方程組 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

將①式代入②式，得，w.w.w.k.s.5 u.c.o.m整理得．

此方程有兩個不等實根，于是，且．整理得③由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標滿足

，．------------------------（10分）

從而線段的垂直平分線方程為．

此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設(shè)可得．整理得， ．將上式代入③式得，整理得，．解得

或．所以的取值范圍是----（20分）