Question

直線x+ay+1=0與直線（a+1）x-by+3=0互相垂直，a，b∈R，且ab≠0，則|ab|的最小值是

2

．

Answer 1

分析：利用直線x+a²y+1=0與直線（a²+1）x-by+3=0互相垂直（a，b∈R，且ab≠0，），得到(-

1

a2

)•

a2+1

b

=-1，整理可得|ab|=|a|+

1

|a|

，利用基本不等式即可．

解答：解：由題意得：k₁=-

1

a2

，k₂=

a2+1

b

，
∵兩直線互相垂直，
∴k₁•k₂=-1，即(-

1

a2

)•

a2+1

b

=-1，
∴a²b=a²+1，則b=

a2+1

a2

，
∴|ab|=

a2+1

|a|

=|a|+

1

|a|

≥2（當且僅當|a|=1，b=2時取等號）．
∴|ab|的最小值為2．
故答案為：2．

點評：本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關系，著重考查基本不等式的應用，利用兩直線垂直得到|ab|=|a|+

1

|a|

是關鍵，屬于中檔題．