Question

試比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小．
當n=1時，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當n=2時，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當n=3時，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
當n=4時，有nⁿ⁺¹______（n+1）ⁿ（填＞、=或＜）；
猜想一個一般性的結論，并加以證明．

Answer 1

當n=1時，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n=2時，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n=3時，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
當n=4時，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
根據上述結論，我們猜想：當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
①當n=3時，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假設當n=k時，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：

kk+1

(k+1)k

＞1
則當n=k+1時，

(k+1)k+2

(k+2)k+1

=(k+1)?(

k+1

k+2

)k+1＞(k+1)?(

k

k+1

)k+1=

kk+1

(k+1)k

＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即當n=k+1時也成立，
∴當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．