Question

（Ⅰ）試比較

2

，

3	3

，

5	5

的大小；
（Ⅱ）試比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ（n∈N₊）的大小，根據（Ⅰ）的結果猜測一個一般性結論，并加以證明．

Answer 1

（Ⅰ）由于(

2

)6=8，(

3	3

)6=9，則

3	3

＞

2

又(

2

)10=32，(

5	5

)10=25，則

2

＞

5	5

所以

3	3

＞

2

＞

5	5

（Ⅱ）猜想：當n=1，2時，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ ；     當n≥3時，有nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
證明如下：①當n=1時，不等式可化為：1＜2，顯然成立
當n=2時，不等式可化為：2³＜3²，顯然成立
②當n≥3時
設an=

nn+1

(n+1)n

(n≥3，n∈N+)，a3=

34

43

=

81

64

＞1
又

an+1

an

=

(n+1)n+2(n+1)n

(n+2)n+1nn+1

=[

(n+1)2

(n+2)n

]n+1=[

(n+2)n+1

(n+2)n

]n+1＞1
∴a_n+1＞a_n，即數列{a_n}是一個單調遞增數列
則a_n＞a_n-1＞…＞a₃＞1
∴

nn+1

(n+1)n

＞1即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ
綜上所述，當n=1、2時，有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ
當n≥3時，n^n+!＞（n+1）ⁿ