Question

（2012•西城區一模）在直角坐標系xOy中，動點A，B分別在射線y=

3

3

x (x≥0)和y=-

3

x (x≥0)上運動，且△OAB的面積為1．則點A，B的橫坐標之積為

3

2

；△OAB周長的最小值是

2(1+

2

)

．

Answer 1

分析：根據題意，OA、OB的斜率之積為-1，得OA⊥OB．設A（x₁，

3

3

x₁），B（x₂，-

3

x₂），算出|OA|=

2 3

3

x₁，|OB|=2x₂，結合三角形面積為1列式，化簡即得x₁x₂=

3

2

．再由基本不等式算出△OAB周長|OA|+|OB|+|AB|≥2+2

2

，當且僅當

2 3

3

x₁=2x₂=

2

時，△OAB周長取最小值2（1+

2

）．

解答：解：∵y=

3

3

x的斜率k₁=

3

3

，y=-

3

x的斜率k₂=-

3

∴k₁•k₂=-1，可得OA⊥OB
設A（x₁，

3

3

x₁），B（x₂，-

3

x₂）
∴|OA|=

x12+ 1 3 x12

=

2 3

3

x₁，|OB|=

x22+3x22

=2x₂，
可得△OAB的面積為S=

1

2

|OA|×|OB|=

1

2

×

2 3

3

x₁×2x₂=1
解之，得x₁x₂=

3

2

∵|AB|²=|OA|²+|OB|²=

4

3

x₁²+4x₂²
∴|AB|=

( 4 3 x12+4x22)

≥

2× 2 3 3 x1×2x2

=

8 3 3 x1x2

 =

8 3 3 × 3 2

 =2
又∵|OA|+|OB|=

2 3

3

x₁+2x₂≥2

2 3 3 x1×2x2

=2

4 3 3 x1x2

=2

4 3 3 × 3 2

=2

2

∴△OAB周長|OA|+|OB|+|AB|≥2+2

2

=2（1+

2

）
當且僅當

2 3

3

x₁=2x₂=

2

，即x₁=

6

2

，x₂=

2

2

時，△OAB周長取最小值2（1+

2

）
故答案為：

3

2

，2（1+

2

）

點評：本題給出互相垂直的射線OA、OB上兩點A、B，在已知△OAB的面積為1的情況下，求三角形周長的最小值．著重考查了直線的斜率、兩直線的位置關系和用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．