Question

【題目】已知無窮數列，滿足.

（1）若，求數列前10項和；

（2）若，且數列前2017項中有100項是0，求的可能值；

（3）求證：在數列中，存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）9（2）1144或1145（3）證明見解析

【解析】

（1）由條件分別計算前10項，即可得到所求和（2）討論x=1，2，3，…，計算得到數列進入循環，求得數列中0的個數，即可得到所求值（3）運用反證法證明，結合條件及無窮數列的概念，即可得證．

（1）因為數列，滿足，，

則，

數列前10項和.

（2）當x=1時，數列各項為，

所以在前2017項中恰好含有672項為0；

當x=2時，數列各項為，

所以在前2017項中恰好含有671項為0；

當x=3時，數列各項為，

所以在前2017項中恰好含有671項為0；

當x=4時，數列各項為，

所以在前2017項中恰好含有670項；

當x=5時，數列各項為，

所以在前2017項中恰好含有670項為0；

由上面可以得到當x=1144或x=1145時，在前2017項中恰好含有100項為0.

（3）證明：假設數列中不存在（k∈N*），使得,

則＜0或≥1（k=1，2，3，…）．

由無窮數列，滿足,

可得≥1，由于無窮數列，對于給定的，總可以相減后得到0，
故假設不成立．

所以在數列中，存在k∈N*，使得0≤＜1．