Question

【題目】在工業生產中，對一正三角形薄鋼板（厚度不計）進行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現有一邊長為3（單位：米）的正三角形鋼板（如圖），沿平行于邊的直線將剪去，得到所需的梯形鋼材,記這個梯形鋼板的周長為 （單位：米），面積為（單位：平方米）.

（1）求梯形的面積關于它的周長的函數關系式；

（2）若在生產中，梯形的面積與周長之比（即）達到最大值時，零件才能符合使用要求，試確定這個梯形的周長為多時，該零件才可以在生產中使用？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當米時，該零件才可以在生產中使用。

【解析】

（1）根據幾何關系得到是正三角形，,，則 ，；（2）由（1）得 ，令 ，對此函數求導研究函數的單調性進而得到最值.

（1）是正三角形，

是正三角形，,，

則 ，

，

化簡得.

故梯形的面積關于它的周長的函數關系式為

.

（2）由（1）得 ，

令 ，

，令，得或（舍去），

列表如下：

		0
	單調遞增	極大值	單調遞減

當時，函數有最大值，為.

當米時，該零件才可以在生產中使用.