Question

如圖，正四棱錐中，側棱與底面所成角的正切值為．
（1）求側面與底面所成二面角的大小；
（2）若E是PB中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值．

Answer 1

（1）連結AC，BD交于點O，連結PO，則PO⊥面ABCD，       
∴ ∠PAO就是PA與底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=．        
設AB=1，則PO=AOtan∠PAO =．    
設F為AD中點，連FO、PF，
易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PAO就是側面PAD與底面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt中，，
∴，即側面PAD與底面ABCD所成二面角的大小為；
（2）連結EO，由于O為BD中點，E為PD中點，所以  ．
∴ 就是異面直線PD與AE所成的角．                      
在Rt中，．∴．      
由，可知面．所以，       
在Rt中，，
即異面直線PD與AE所成角的正切值為．

略