Question

【題目】如圖，A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F且交橢圓于P，Q兩點(diǎn).連結(jié)并延長交直線于點(diǎn)M.

（1）若直線的斜率為，求直線的方程;

（2）求證：A，Q，M三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）設(shè)，計(jì)算出的值，最后求出直線的斜率，最后求出直線的方程；

（2）根據(jù)直線的斜率為零不為零進(jìn)行分類討論. 直線的斜率為零時(shí)，顯然成立；直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，只要計(jì)算出就可以證明出A，Q，M三點(diǎn)共線.

（1）設(shè)，所以，由題意可知：，

則.

∴，∴直線的方程為：

（2）當(dāng)垂直于y軸時(shí)，方程為，此時(shí)顯然有A，Q，M三點(diǎn)共線；

當(dāng)不垂直于y軸時(shí)，設(shè)方程為，，

則直線方程為，令得，，即.

∴

∵

∴

∴A，Q，M三點(diǎn)共線.