Question

已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明:

(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減.

Answer 1

證明略

解析:

(1)由f(x)+f(y)=f(),

令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 

∴f(x)=－f(－x)  ∴f(x)為奇函數.

(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.

令0<x₁<x₂<1,則f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)+f(－x₁)=f()

∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，∴>0,

又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0

∴x₂－x₁<1－x₂x₁,

∴0<<1,由題意知f()<0，

即f(x₂)<f(x₁).

∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上為減函數.