Question

已知等比數列{x_n}的各項為不等于1的正數，數列{y_n}滿足=2(a＞0，且a≠1)，設y₃=18，y₆=12.

（1）數列{y_n}的前多少項和最大，最大值為多少？

（2）試判斷是否存在自然數M，使得當n＞M時，x_n＞1恒成立?若存在，求出相應的M；若不存在，請說明理由.

（3）令a_n=(n＞13,n∈N)，試比較a_n與a_n+1的大小.

Answer 1

解：（1）y_n=2log_ax_n,y_n+1=2log_ax_n+1,則y_n+1-y_n=2(log_ax_n+1-log_ax_n)=2log_a.

∵{x_n}為等比數列,∴為定值.

∴{y_n}為等差數列.

又y₆-y₃=3d=12-18,∴d=-2,y₁=y₃-2d=22.

∴S_n=22n+·(-2)=-n²+23n.

∴當n=11或n=12時，S_n取得最大值,且最大值為132.                       

(2)∵y_n=22+(n-1)(-2)=2log_ax_n，

∴x_n=a^12-n.又x_n=a^12-n＞1,當a＞1時，12-n＞0，n＜12;當0＜a＜1時，12-n＜0,n＞12.

∴當0＜a＜1時，存在M=12，當n＞M時,x_n＞1恒成立.                        

(3)a_n===1+.

∵a_n在(13,+∞)上是減函數,

∴a_n＞a_n+1.