Question

16．已知圓C₁：x²+y²+6x=0關(guān)于直線l₁：y=2x+1對(duì)稱的圓為C．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)（-1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得OA⊥OB．若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，解出圓心關(guān)于直線l₁：y=2x+1的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到圓C的圓心坐標(biāo)，求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直接求出直線方程，與圓的方程聯(lián)立求出A，B的坐標(biāo)，已知$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與圓的方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，代入向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得k，則直線方程可求．

解答 解：（1）圓C₁化為標(biāo)準(zhǔn)式為（x+3）²+y²=9，
設(shè)圓C₁的圓心C₁（-3，0）關(guān)于直線l₁：y=2x+1的對(duì)稱點(diǎn)為C（a，b），
則${k}_{C{C}_{1}}•{k}_{{l}_{1}}=-1$，且CC₁的中點(diǎn)$M（{\frac{a-3}{2}，\frac{b}{2}}）$在直線l₁：y=2x+1上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a+3}×2=-1}\\{（{a-3}）-\frac{b}{2}+1=0}\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}$，
∴圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=9；
（2）要使OA⊥OB，必須使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即：x₁x₂+y₁y₂=0．
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得直線l的方程為x=-1，與圓C：（x-1）²+（y+2）²=9交于兩點(diǎn)$A（{-1，\sqrt{5}-2}）$，$B（{-1，-\sqrt{5}-2}）$．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（{-1}）（{-1}）+（{\sqrt{5}-2}）（{-\sqrt{5}-2}）=0$，∴OA⊥OB，
∴當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=-1滿足條件．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y+2）^{2}=9}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+（2k²+4k-2）x+k²+4k-4=0．
${x_1}+{x_2}=-\frac{{2{k^2}+4k-2}}{{1+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}+4k-4}}{{1+{k^2}}}$，
由于點(diǎn)（-1，0）在圓C內(nèi)部，∴△＞0恒成立．
要使OA⊥OB，必須使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
也就是：${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）=0$，
即${k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}=0$，
∴$-{k}^{2}•\frac{2{k}^{2}+4k-2}{1+{k}^{2}}+（{k}^{2}+1）•\frac{{k}^{2}+4k-4}{1+{k}^{2}}+{k}^{2}=0$
整理得：4k-4=0，解得：k=1，
∴直線l的方程為y=x+1．
故存在直線x=-1和y=x+1，使得OA⊥OB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，在處理平面解析幾何時(shí)，往往先設(shè)出直線方程，但要注意直線的斜率是否存在，是中檔題．