Question

10．已知等差數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*），且a₂，a₅分別是等比數列{b_n}的第二項和第三項，設數列{c_n}滿足c_n=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數}\\{{b_{n，}}n為偶數}\end{array}}$，{c_n}的前n項和為S_n
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）是否存在m∈N^*，使得S_m=2017，并說明理由
（3）求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂=3=b₂，a₅=9=b₃，可得公比q．
（2）．由于S₇=301＜2017，S₈=2488＞2017，而S_n是單調遞增的，即可判斷出結論．．
（3）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數}\\{{3}^{n-1}，n為偶數}\end{array}\right.$，n為偶數時，S_n=$\frac{（1+2n-3）×\frac{n}{2}}{2}$+$\frac{3（1-{9}^{\frac{n}{2}}）}{1-9}$．n為奇數時，S_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{8}$+2n-1．

解答 解：（1）∵a₂=3=b₂，a₅=9=b₃，∴公比q=3．
（2）不存在m∈N^*，使得S_m=2017．∵S₇=301＜2017，S₈=2488＞2017，而S_n是單調遞增的，∴不存在m∈N^*，使得S_m=2017．
（3）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數}\\{{3}^{n-1}，n為偶數}\end{array}\right.$，
n為偶數時，S_n=$\frac{（1+2n-3）×\frac{n}{2}}{2}$+$\frac{3（1-{9}^{\frac{n}{2}}）}{1-9}$=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{8}$．
n為奇數時，S_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{8}$+2n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{{3}^{n}-3}{8}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和關系、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．