Question

設橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，長軸的長等于，離心率為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M是橢圓上異于A₁，A₂的任意一點，設直線MA₁，MA₂的斜率分別為，，證明為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率、長軸、及a²=b²+c²的關系、橢圓的標準方程即可得出；
（2）利用橢圓的標準方程、直線的斜率計算公式即可證明．
解答：解：（1）設橢圓的方程為（a＞b＞0），
由已知得 ，，
∴，c=1，
又a²=b²+c²，∴b²=2．
∴橢圓C的標準方程為．
（2）證明：由橢圓方程得，，設M點坐標（x，y），
則，
∵，，
∴．
∴是定值．
點評：視力掌握橢圓的離心率、長軸、及a²=b²+c²的關系、橢圓的標準方程、直線的斜率計算公式是解題的關鍵．