Question

設橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，長軸的長等于2

3

，離心率為

3

3

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M是橢圓上異于A₁，A₂的任意一點，設直線MA₁，MA₂的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1•kMA2為定值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率、長軸、及a²=b²+c²的關系、橢圓的標準方程即可得出；
（2）利用橢圓的標準方程、直線的斜率計算公式即可證明．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得 2a=2

3

，

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，c=1，
又a²=b²+c²，∴b²=2．
∴橢圓C的標準方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）證明：由橢圓方程得A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，設M點坐標（x₀，y₀），
則

x02

3

+

y02

2

=1⇒y02=

2

3

(3-x02)，
∵kMA1=

y0

x0+ 3

，kMA2=

y0

x0- 3

，
∴kMA1•kMA2=

y02

x02-3

=

2 3 (3-x02)

x02-3

=-

2

3

．
∴kMA1•kMA2是定值-

2

3

．

點評：視力掌握橢圓的離心率、長軸、及a²=b²+c²的關系、橢圓的標準方程、直線的斜率計算公式是解題的關鍵．