Question

在平面直角坐標系xoy 中，點M 到兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離之和為4，設點M 的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C 的方程；   
（2）若直線l：y=kx+m 與曲線C 相交于不同兩點A、B （A、B 不是曲線C 和坐標軸的交點），以AB 為直徑的圓過點D（2，0），試判斷直線l 是否經過一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可知，點M的軌跡C是以兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓，由此可得曲線C的方程；   
（2）直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達定理，結合以AB為直徑的圓過點D（2，0），即可求得結論．

解答：解：（1）設M（x，y），由橢圓的定義可知，點M的軌跡C是以兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓
∴短半軸長為b=

22-12

=

3

∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；   
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0
∴x₁+x₂=-

8mk

3+4k2

，x₁x₂=

4(m2-3)

3+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

3(m2-4k2)

3+4k2

∵以AB為直徑的圓過點D（2，0），
∴k_ADk_BD=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0
∴7m²+16mk+4k²=0
∴m=-2k或m=-

2k

7

，均滿足△=3+4k²-m²＞0
當m=-2k時，l的方程為y=k（x-2），直線過點（2，0），與已知矛盾；
當m=-

2k

7

時，l的方程為y=k（x-

2

7

），直線過點（

2

7

，0），
∴直線l過定點，定點坐標為（

2

7

，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．