Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點分別為M、N．
（1）求證：直線MN必過定點，并寫出此定點坐標(biāo)；
（2）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點H的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)AB斜率為k，將AB方程與拋物線方程聯(lián)立，求得M，將k換為得N（2k²+1，-2k），由兩點式得MN方程為（1-k²）y=k（x-3），則直線MN恒過定點T（3，0）；
（2）由拋物線性質(zhì)，以AB、CD為直徑的⊙M、⊙N的半徑分別為x_M+1，x_N+1，于是可得兩圓方程分別為和，
兩式相減可得其相交弦所在直線方程為
（x_M-x_N）x+（y_M-y_N）y=，
則公共弦過原點O．所以∠OHT=90°．
于是，點H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓（除去直徑的兩個端點），
其軌跡方程為
分析：（1）通過已知條件求出直線MN的方程，直線MN是直線系，即可得到直線過的定點，問題得到證明；
（2）求出以AB和CD為直徑的圓的方程，然后求兩圓相交弦的直線方程，說明公共弦過原點O．∠OHT=90°．
得到點H的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓（除去直徑的兩個端點）即可．
點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線系方程的應(yīng)用，軌跡方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．