Question

已知f（x）是定義在實數集上的函數，且f(x+2)=

1+f(x)

1-f(x)

，若f(1)=2+

3

，則f（2005）=

3

-2

．

Answer 1

分析：根據題意可得：f(x+4)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，即可得到f(x+8)=-

1

f(x+4)

=f(x)，所以f（2005）=f（5）=-

1

f(1)

，再結合題意即可得到答案．

解答：解：因為f(x+2)=

1+f(x)

1-f(x)

，
所以f(x+4)=

1+f(x+2)

1-f(x+2)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+8)=-

1

f(x+4)

=f(x)，
所以f（x）是定義在實數集上周期為8的函數，
所以f（2005）=f（5）=-

1

f(1)

，
因為f(1)=2+

3

，
所以f（2005）=f（5）=-

1

f(1)

=

3

-2．
故答案為：

3

-2．

點評：本題主要考查利用仿寫的方法求出函數的周期，像這種計算較大自變量的函數值時一般先根據題意求出函數的周期，再利用周期的有關性質進行解題．