Question

等比數列{a_n}同時滿足下列三個條件：①a₁+a₆=33；②a₂a₅=32；③三個數2a₂，a₃²，3a₄+4依次成等差數列，求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析：由①②求出a₁，a₆  的值，求出a_n=2n-1或an=26-n．再通過③驗證，確定通項公式，再根據等比數列前n項和公式計算出S_n．

解答：解：由等比數列性質，a₁•a₆ =a₂a₅=32，又a₁+a₆=33．∴a₁，a₆是方程x²-33x+32=0的兩根，解得①

a1=1 a6=32

，此時q=2，通項公式為a_n=2^n-1，三個數2a₂，a₃²，3a₄+4依次為：4，16，28，成等差數列，符合題意．
或②

a1=32 a6=1

，此時q=

1

2

，通項公式為a_n=32×(

1

2

)n-1=2^6-n，三個數2a₂，a₃²，3a₄+4依次32，64，16，不成等差數列．
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1；
∴S_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

點評：本題考查等比數列的性質、通項公式、前n項和S_n．在解題中，應用性質能有效的減少運算量．