Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的首項a₁（a₁∈R），且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）對n∈N^*，試比較

1

a2

+

1

a22

+

1

a23

+…+

1

a2n

與

1

a1

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數列，利用等比數列的性質及等差數列的通項公式列出關于首項和公差的方程，根據公差d不為0，解得公差d與首項相等，然后根據首項和公差寫出數列的通項公式即可；
（Ⅱ）設T_n=

1

a2

+

1

a22

+

1

a23

+…+

1

a2n

與根據（Ⅰ）中求得的通項公式表示出a₂，然后利用等比數列的前n項和的公式表示出T_n，即可比較出兩者的大小關系．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，由題意可知(

1

a2

)2=

1

a1

×

1

a4

，
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），從而a₁d=d²，
因為d≠0，所以d=a₁，
故a_n=nd=na₁；
（Ⅱ）記T_n=

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n

，由a₂=2a₁，
所以T_n=

1 a2 (1- 1 a2n )

1- 1 a2

=

1 2a1 (1- 1 (2a1)n )

1- 1 2a1

=

1- 1 (2a1)n

2a1-1

，
從而，當a₁＞0時，T_n＜

1

a1

；當a₁＜0時，T_n＞

1

a1

．

點評：此題考查學生掌握等比數列的性質，利用運用等比數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．