Question

18.如下圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.

(Ⅰ)求四棱錐S-ABCD的體積；

(Ⅱ)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

18.本小題考查線面關系和棱錐體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力.

　

解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面積是

M_底面＝(BC+AD)·AB=×1=，        

∴四棱錐S-ABCD的體積是V＝×SA×M_底面＝×1×＝.           

 

（Ⅱ）延長BA、CD相交于點E，連結SE，則SE是所求二面角的棱.

∵AD∥BC，BC＝2AD，

∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.               

∵SB＝＝，BC＝1，BC⊥SB，

∴tanBSC==.即所求二面角的正切值為.