Question

（本題滿分16分）已知函數，數列滿足：

（1）若對于，都有成立，求實數的值；

（2）若對于，都有成立，求實數的取值范圍；

（3）請你構造一個無窮數列使其滿足下列兩個條件，并加以證明：

①，；

②當為中的任意一項時，中必有某一項的值為1．

Answer 1

解：（1）由題意得∴，得或3，檢驗符合．…4分

（2）設，即，解得或

∴要使得成立，則或                     ………………6分

當時，，

而，即，不滿足題意．………8分

②當時，，，，

此時，，∴，滿足題意．

綜上，．                                           ………………10分

（3）構造數列：，下面證明此數列滿足要求．

此時，不妨設取，

那么

由可得

因為，所以

又所以數列是無窮數列，因此構造的數列符合題意．  ………16分

注：不唯一，也可以取等