Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數k的最小值；
（3）證明： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的定義域為（﹣a，+∞），求導函數可得

令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a

令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a

∴x=1﹣a時，函數取得極小值且為最小值

∵函數f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，

∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1

（2）解：當k≤0時，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合題意

當k＞0時，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，

求導函數可得g′（x）=

g′（x）=0，可得x1=0，

①當k≥ 時， ，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上單調遞減，從而對任意的x∈[0，+∞），總有g（x）≤g（0）=0，即對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；

②當0＜k＜ 時， ，對于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上單調遞增，

因此取 時，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；

綜上知，k≥ 時對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值為

（3）證明：當n=1時，不等式左邊=2﹣ln3＜2=右邊，所以不等式成立

當n≥2時，

在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，∴ （i≥2，i∈N*）．

∴ =f（2）+ ＜2﹣ln3+ =2﹣ln3+1﹣ ＜2

綜上， （n∈N*）

【解析】（1）確定函數的定義域，求導函數，確定函數的單調性，求得函數的最小值，利用函數f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，即可求得a的值；（2）當k≤0時，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合題意；當k＞0時，令g（x）=f（x）﹣kx2 ， 即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2 ， 求導函數，令g′（x）=0，可得x1=0， ，分類討論：①當k≥ 時， ，g（x）在（0，+∞）上單調遞減，g（x）≤g（0）=0；②當0＜k＜ 時， ，對于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上單調遞增，由此可確定k的最小值；（3）當n=1時，不等式左邊=2﹣ln3＜2=右邊，不等式成立；當n≥2時， ，在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2 ， 從而可得 ，由此可證結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．