Question

把正偶數列{2n}中的數按“上小下大，左小右大”的原則排成如圖“三角形”所示的數表，設a_ij（i，j∈N^*）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行，從左往右數第j個數．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函數f（x）的反函數為f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為b_n．①求數列{f（b_n）}的前n項和S_n；②令的前n項之積為T_n（n∈N^*），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）數表中是連續的偶數，a_mn是第m行的第n個數，n≤m，所以先計算前m-1行共有1+2+3+…+m-1=個數，再加上n等于1005，求出m，n的值．
（2）①先根據f（x）的反函數解析式求出f（x）的解析式，利用等差數列的求和公式，求出前n-1行共有多少個偶數，找到第n行的第一個數，再用等差數列的求和公式求出b_n，代入f（x），利用錯位相減求和即可．
②化簡T_n，再利用數學歸納法證明成立即可．數學歸納法的步驟，先驗證n取第一個數時命題成立，假設n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立．
解答：解：（1）因2010是第1005個偶數，而前m-1行共有1+2+…+n=個偶數，又∵n≤m，故2010位于第45行第15個偶數，故m=45，n=15
（2）①由y=n+125ⁿ•x³得：x=，f（x）=設T表示前n個偶數和，則
b_n=-=-=n³+n
故f（b_n）=，S_n=+++…+，
S_n=++…+
S_n=+++…++，
∴S_n=
②易知==
∴T_n=（n!）
要證只需證明=＜，
又只需證明=（1-）（1-）…（1-）＞，
下先用數學歸納法證明：（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）
（Ⅰ）當n=1時，1-=≥1-故n=1成立；
（Ⅱ）假設n=k時，=（1-）（1-）…（1-）＞1-（++…+），
則n=k+1時，=（1-）（1-）…（1-）（1-）＞1-（++…+）（1-），
=1-（++…++）+（++…+）＞1-（++…++），
故n=k+1也成立．
綜合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）=1-
=
故原不等式成立．
點評：本題主要考查了函數與數列綜合應用來求數列的和，以及數學歸納法證明不等式成立，注意解題步驟的書寫．