Question

已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為1的正方形，側棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，
E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ） 求點C到平面PDB的距離；
（Ⅱ） 若點E為PC的中點，求平面ADE與平面ABE所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（I）點到平面的距離可以根據等體積法交線計算，即V_P-BCD=V_C-BPD，在換頂點求體積時應當換一個高與底面積都易求的頂點．
（II）建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量再結合向量的有關運算計算出二面角的平面角的余弦值，進而求出角度．

解答：解：（I）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
設點C到平面PDB的距離為d，
∵V_P-BCD=V_C-BPD，
∴

1

3

S△BCD•PC=

1

3

S△BPD•dPD=PB=

5

，BD=

2

，
∴S△BPD=

3

2

，S△BCD=

1

2

∴d=

2

3

．
（II）以點C為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而

DE

=(-1，0，1)，

DA

=(0，1，0)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為

m

=(a，b，c)，

n

=(a′，b′，c′)
由法向量的性質可得：-a+c=0，b=0，a'=0，-b'+c'=0
令c=1，c'=-1，則a=1，b'=-1，
∴

m

=(1，0，1)，

n

=(0，-1，-1)
設二面角D-AE-B的平面角為θ，則cosθ=

m • n

|m |•| n |

=-

1

2

∴θ=

π

3

．

點評：本題主要考查點到平面的距離與二面角的求法，解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，進而便于得到點、線、面的位置關系，也利用距離坐標系求解二面角．