Question

已知函數：f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1
(1)y＝f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；
(2)函數y＝f(x)在區間[－2,1]上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)＝x³＋2x²－4x＋5; (2) b≥0

試題分析：(1)先由函數導數的幾何意義用含a,b,c的代數式表達出函數在點P處的切線方程，再與已知的切線相比較可得關于a,b,c的兩個方程；另又因為y＝f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝0再得到一個關于a,b,c的方程，三個字母三個方程，通過解方程組就可求得字母a,b,c的值，從而求得f(x)的表達式； (2) 由函數y＝f(x)在區間[－2,1]上單調遞增，知其導函數f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有，從而有3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，分離參數轉化為函數的最值問題，可求得b的取值范圍.
試題解析：(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c,求導數得f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
過y＝f(x)上點P(1，f(1))的切線方程為：y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)
而過y＝f(x)上P(1，f(1))的切線方程為：y＝3x＋1
即
又∵y＝f(x)在x＝－2時有極值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③
由①②③相聯立解得a＝2，b＝－4，c＝5,所以f(x)＝x³＋2x²－4x＋5
(2)y＝f(x)在區間[－2,1]上單調遞增
又f′(x)＝3x²＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0
∴f′(x)＝3x²－bx＋b
依題意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立
注意到，所以3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立等價于：，令知當時，當時，所以在[-2，1）上有最大值為，故知，且當x=1時f′(x)≥0也成立,所以