Question

【題目】已知，其中.

（1）求函數(shù)的極大值點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若在上至少存在一點(diǎn)，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）＜1

【解析】試題分析：

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論可得當(dāng)≤1或=2時(shí)，無極大值；當(dāng)1＜＜2時(shí)的極大值點(diǎn)位；當(dāng)＞2時(shí)的極大值點(diǎn)為；

(2)原問題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，＞，結(jié)合(1)的結(jié)論計(jì)算可得的取值范圍是＜1.

試題解析：

（1）由已知=，＞0

當(dāng)-1≤0，即≤1時(shí)，在（0,1）上遞減，在（1,+∞）上遞增，無極大值

當(dāng)0＜-1＜1，即1＜＜2時(shí)在（0,-1）上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1,+∞）上遞增，所以在處取極大值

當(dāng)-1=1時(shí)，即=2時(shí)，在（0,+∞）上遞增，無極大值

當(dāng)-1＞1時(shí)，即＞2時(shí)，在（0,1）上遞增，在（1，-1）上遞減，在（-1,+∞）上遞增，故在處取極大值

綜上所述，當(dāng)≤1或=2時(shí)，無極大值；當(dāng)1＜＜2時(shí)的極大值點(diǎn)位；當(dāng)＞2時(shí)的極大值點(diǎn)為

（2）在上至少存在一點(diǎn)，使＞成立，

等價(jià)于當(dāng)時(shí)，＞

由（1）知，①當(dāng)≤時(shí)，

函數(shù)在上遞減，在上遞增

∴

∴要使＞成立，必須使＞成立或＞成立

由＞，＜

由＞ 解得＜1

∵＜1，∴＜1

②當(dāng)≥時(shí)，函數(shù)在上遞增，在上遞減

∴≤＜

綜上所述，當(dāng)＜1時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)，使＞成立