Question

如圖，A、B是兩圓的交點，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的長．

Answer 1

解：設CB=AD=x，則由割線定理，得CA•CD=CB•CE，
即4（4+x）=x（x+10），化簡得x²+6x-16=0，解得x=2或x=-8（舍去），即CD=6，CE=12，
因為CA為直徑，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，
則由圓的內接四邊形對角互補，得∠D=90°，
則CD²+DE²=CE²，
∴6²+DE²=12²，
∴DE=6．
分析：設CB=AD=x，由圓的割線定理列出關于x的方程，求出x的值即得到CD和CE的值，又因為AC為小圓的直徑，則所對的圓周角∠CBA等于90°即∠ABE等于90°，然后根據圓內接四邊形的對角互補得到∠D也等于90°，所以在直角三角形CDE中，利用勾股定理即可求出DE的長．
點評：此題考查學生靈活運用圓的內接四邊形對角互補及直徑所對的圓周角為直角的性質，靈活運用圓的割線定理化簡求值，是一道中檔題．