Question

已知函數f（x）=

2a+1

a

-

1

a2x

，常數a＞0．
（1）設m•n＞0，證明：函數f（x）在[m，n]上單調遞增；
（2）設0＜m＜n且f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）先在m，n]上任取兩變量x₁，x₂，且界定大小，再作差f（x₁）-f（x₂）變形看符號；
（2）因為f（x）在[m，n]上單調遞增，f（x）的定義域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，得出m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的兩個不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的正根．利用根的判斷式求得a的范圍，最后利用二次函數的性質求出n-m的最大值即可．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

a2

•

x1-x2

x1x2

，
因為x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[m，n]上單調遞增．
（2）因為f（x）在[m，n]上單調遞增，f（x）的定義域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程

2a+1

a

-

1

a2x

=x的兩個不等的正根?a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的正根．
所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，因為a＞0，所以a＞

1

2

．
∴n-m= 

1

a

4 a2+4 a-3

=

-3 (  1 a - 2 3  )2+ 16 3

 ，  a∈( 

1

2

 ， +∞ )，
∴a=

3

2

時，n-m取最大值

4 3

3

．

點評：本題主要考查用單調性定義證明函數的單調性，函數的值域等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．